Question

已知函数f(x)在其定义域上是单调函数，证明f(x)至多有一个零点．

Answer 1

答案：
解析：

证明：假设f(x)＝0至少有两个不同的实根x1，x2，且不妨设x1＜x2，由题意得f(x1)＝0，f(x2)＝0．∴f(x1)＝f(x2)① 　　∵f(x)在其定义域上是单调函数，不妨设为增函数，由x1＜x2则f(x1)＜f(x2)②，因此①、②相矛盾．假设不成立，故f(x)＝0至多有一个零点．

提示：

思路分析：不妨设f(x)在R上是增函数，为证明f(x)＝0至多有一个实根，考虑用反证法证明． 　　思想方法小结：这是一个很明显的结论，但证明起来无从下手．下面应用这个结论解决下面问题．