Question

已知函数f(

1

x

)=

2x2+x+a

x

，其中x∈（0，1]
（Ⅰ）当a=

1

2

时，求f（x）的最小值；
（Ⅱ）在定义域内，f（x）＞0恒成立，试求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：先利用换元法求其函数的解析式f（x）=ax+

2

x

+1，定义域为x∈[1，+∞），
（Ⅰ）把a的值代入解析式中，化简成“对号”函数的形式f(x)=x+

a

x

(a＞0)，可以直接利用结论：
 f(x)在(-∞，-

a

)；(

a

，+∞)单调递增，在(-

a

，0)；(0，+

a

)单调递减，可以求出最小值，也可以用定义证明函数的单调性，然后求其最值即可．
（Ⅱ）先化简不等式，f（x）＞0，再由分式不等式等价转化整式不等式ax²+x+2＞0恒成立，然后采用分离常数法求实数a的取值范围即可．

解答：解：由题意知
∵f(

1

x

)=

2x2+x+a

x

，x∈（0，1]
设t=

1

x

∈[1，+∞），可求得函数f（x）的解析式为f（x）=ax+

2

x

+1定义域为x∈[1，+∞） 
（Ⅰ）当a=

1

2

时，f（x）=

1

2

(x+

4

x

)+1x∈[1，+∞） 
 用定义证明f（x）的单调性如下：
设1≤x₁＜x₂≤2，则f（x₁）-f（x₂）=

1

2

(x1+

4

x1

)-

1

2

( x2 +

4

x2

)=

1

2

(x1-x2)(1-

4

x1x2

)，
∵1≤x₁＜x₂≤2
∴f（x₁）-f（x_{2 ^）＞0}
故f（x）在[1，2]上单调递减．同理可证f（x）在[2，+∞）上单调递增．
∴f（x）的最小值为f（2）=3．
（Ⅱ）∵x∈[1，+∞），f（x）=ax+

2

x

+1=

ax2+x+2

x

＞0恒成立
∴等价于当x∈[1，+∞），ax²+x+2＞0恒成立即可
∴a＞

-x-2

x2

在x∈[1，+∞）恒成立    又

1

x

∈（0，1]
令g（x）=

-x-2

x2

=-2（

1

x

）²-

1

x

=-2（

1

x

+

1

4

）²+

1

8

即g（x）∈[-3，0）
∴a≥0
故a的取值范围[0，+∞）．

点评：本题对学生的程度要求比较高，有一定的难度，主要考查利用函数单调性求函数的最值，及不等式的等价转化思想．