Question

2．已知函数$f（x）=sin（{2x+\frac{π}{6}}）+2sin（{x-\frac{π}{4}}）sin（{x+\frac{π}{4}}）$，x∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期、单调递增区间和图象的对称轴方程；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间$[{-\frac{π}{12}，\frac{π}{2}}]$上的最大值和最小值；
（Ⅲ）若${x_0}∈（{\frac{π}{3}，\frac{π}{2}}）$，且f（x₀）=$\frac{3}{5}$，求cos2x₀的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$），利用正弦函数的周期公式可求函数f（x）的最小正周期，由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z可得单调递增区间，令2x-$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得图象的对称轴方程．
（Ⅱ）由x∈$[{-\frac{π}{12}，\frac{π}{2}}]$，可求2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，利用正弦函数的性质可求函数f（x）在区间$[{-\frac{π}{12}，\frac{π}{2}}]$上的最大值，最小值．
（Ⅲ）根据角的范围，利用同角三角函数基本关系式可求cos（2x₀-$\frac{π}{6}$）的值，根据x₀=（2x₀-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$，利用两角和的余弦函数公式即可计算求值得解．

解答 解：（Ⅰ）∵$f（x）=sin（{2x+\frac{π}{6}}）+2sin（{x-\frac{π}{4}}）sin（{x+\frac{π}{4}}）$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x+sin（2x-$\frac{π}{2}$）
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x=sin（2x-$\frac{π}{6}$），
∴函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π，
∵2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z
∴可得：kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z
∴函数f（x）的单调递增区间为：[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z
∵令2x-$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得：x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
∴图象的对称轴方程为：x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
（Ⅱ）∵x∈$[{-\frac{π}{12}，\frac{π}{2}}]$，
∴2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，可得sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
∴函数f（x）在区间$[{-\frac{π}{12}，\frac{π}{2}}]$上的最大值为1，最小值为-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（Ⅲ）∵sin（2x₀-$\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{5}$，
∵${x_0}∈（{\frac{π}{3}，\frac{π}{2}}）$，2x₀-$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{5π}{6}$），
∴cos（2x₀-$\frac{π}{6}$）=-$\frac{4}{5}$，
∴cos2x₀=cos[（2x₀-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]=cos（2x₀-$\frac{π}{6}$）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$-sin（2x₀-$\frac{π}{6}$）×$\frac{1}{2}$=-$\frac{4\sqrt{3}+3}{10}$．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的周期公式，正弦函数的性质，同角三角函数基本关系式，两角和的余弦函数公式的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．