Question

【题目】已知函数.

（1）当时，若函数恰有一个零点，求的取值范围；

（2）当时， 恒成立，求的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) 或 (2)

【解析】【试题分析】(1)函数的定义域为,当时， ，所以,对分类讨论,得到函数的单调区间,由此求得的取值范围.(2) 令,利用的导数,对分类讨论函数的单调区间,利用最大值小于零,来求得的取值范围.

【试题解析】

（1）函数的定义域为，

当时， ，所以，

①当时， 时无零点，

②当时， ，所以在上单调递增，

取，则，

因为，所以，此时函数恰有一个零点，

③当时，令，解得，

当时， ，所以在上单调递减；

当时， ，所以在上单调递增.

要使函数有一个零点，则即，

综上所述，若函数恰有一个零点，则或；

（2）令，根据题意，当时， 恒成立，又，

①若，则时， 恒成立，所以在上是增函数，且，所以不符题意.

②若，则时， 恒成立，所以在上是增函数，且，所以不符题意.

③若，则时，恒有，故在上是减函数，于是“对任意，都成立”的充要条件是，即，解得，故.

综上， 的取值范围是.