Question

【题目】已知数列满足，（）．

（Ⅰ）证明数列为等差数列，并求的通项公式；

（Ⅱ）设数列的前项和为，若数列满足，且对任意的恒成立，求的最小值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明见解析，；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）通过对（n+1）an+1﹣（n+2）an=2变形、裂项可知﹣=2（﹣），进而利用累加法、并项相加，计算即得结论；

（Ⅱ）通过（I）可知bn=n，通过令f（x）=x，求导可知函数f（x）先增后减，进而计算可得结论．

∵（n+1）an+1﹣（n+2）an=2，

∴﹣==2（﹣），

又∵=1，

∴当n≥2时，=+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）

=1+2（﹣+﹣+…+﹣）

=，

又∵=1满足上式，

∴=，即an=2n，

∴数列{an}是首项、公差均为2的等差数列；

（Ⅱ）解：由（I）可知==n+1，

∴bn=n=n，

令f（x）=x，则f′（x）=+xln，

令f′（x）=0，即1+xln=0，解得：x0≈4.95，

则f（x）在(0, x0)上单调递增，在(x0,+单调递减.

∴0＜f（x）≤max{f（4），f（5），f（6）}，

又∵b5=5=，b4=4=﹣，b6=6=﹣，

∴M的最小值为．