Question

已知函数f(x)＝2ex－ax－2(a∈R)

(1)讨论函数的单调性；

(2)当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围.

 

Answer 1

(1)当x∈(－∞，ln)时，f(x)单调递减；当x∈(ln，＋∞)时，f(x)单调递增．(2)(－∞，2]

【解析】试题分析：(1)利用导数值的正负，通过对a范围的讨论，找出相应单调区间；(2)利用(1)先确定a的大范围为a≤0，然后通过函数的单调性解此不等式.

试题解析：(Ⅰ)f?(x)＝2ex－a．

若a≤0，则f?(x)＞0，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；

若a＞0，则

当x∈(－∞，ln)时，f?(x)＜0，f(x)单调递减；

当x∈(ln，＋∞)时，f?(x)＞0，f(x)单调递增． 5分

(Ⅱ)注意到f(0)＝0．

若a≤0，则当x∈[0，＋∞)时，f(x)单调递增，f(x)≥f(0)＝0，符合题意．

若ln≤0，即0＜a≤2，则当x∈[0，＋∞)时，f(x)单调递增，f(x)≥f(0)＝0，符合题意．

若ln＞0，即a＞2，则当x∈(0，ln)时，f(x)单调递减，f(x)＜0，不合题意．

综上所述，a的取值范围是(－∞，2]． 12分

考点:利用导数讨论函数的单调性，分类与整合，含参数不等式