Question

设椭圆E中心在原点，焦点在x轴上，短轴长为4，点M（2，）在椭圆上．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设动直线L交椭圆E于A、B两点，且，求△OAB的面积的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）设出椭圆方程，确定b的值，代入M的坐标，即可求得椭圆的方程；
（2）分类讨论，设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，及使，需使x₁x₂+y₁y₂=0，表示出三角形的面积，进而可得△OAB的面积的取值范围．
解答：解：（1）椭圆方程为（a＞b＞0），则b=2
将点M（2，），代入椭圆方程可得，∴a²=8
∴椭圆方程为；
（2）当直线L斜率存在时，设方程为y=kx+m，代入椭圆方程，可得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0
则△=8（8k²-m²+4）＞0，即8k²-m²+4＞0（*），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-，x₁x₂=
∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=
要使，需使x₁x₂+y₁y₂=0，即，所以①
将它代入（*）式可得k²∈[0，+∞）    
∵O到L的距离为d=
∴S=|AB|d=|x₁-x₂|•=|x₁-x₂|=
①当k=0时，S=；
②当AB的斜率不存在时，S=；
③当k≠0时，S=
∵k²∈（0，+∞），∴∈[4，+∞），∴S∈
综上，S∈．
点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，有难度．