Question

设椭圆E中心在原点，焦点在x轴上，短轴长为4，点M（2，

2

）在椭圆上．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设动直线L交椭圆E于A、B两点，且

OA

⊥

OB

，求△OAB的面积的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设出椭圆方程，确定b的值，代入M的坐标，即可求得椭圆的方程；
（2）分类讨论，设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，及使

OA

⊥

OB

，需使x₁x₂+y₁y₂=0，表示出三角形的面积，进而可得△OAB的面积的取值范围．

解答：解：（1）椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），则b=2
将点M（2，

2

），代入椭圆方程可得

4

a2

+

2

4

=1，∴a²=8
∴椭圆方程为

x2

8

+

y2

4

=1；
（2）当直线L斜率存在时，设方程为y=kx+m，代入椭圆方程，可得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0
则△=8（8k²-m²+4）＞0，即8k²-m²+4＞0（*），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-

4km

1+2k2

，x₁x₂=

2m2-8

1+2k2

∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=

m2-8k2

1+2k2

要使

OA

⊥

OB

，需使x₁x₂+y₁y₂=0，即

2m2-8

1+2k2

+

m2-8k2

1+2k2

=0，所以m2=

8k2+8

3

①
将它代入（*）式可得k²∈[0，+∞）    
∵O到L的距离为d=

|m|

1+k2

∴S=

1

2

|AB|d=

1

2

1+k2

|x₁-x₂|•

|m|

1+k2

=

1

2

|m||x₁-x₂|=

8

3

1+ k2 4k4+4k2+1

①当k=0时，S=

8

3

；
②当AB的斜率不存在时，S=

8

3

；
③当k≠0时，S=

8

3

1+ 1 4k2+ 1 k2 +4

∵k²∈（0，+∞），∴4k2+

1

k2

∈[4，+∞），∴S∈(

8

3

，2

2

]
综上，S∈[

8

3

，2

2

]．

点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，有难度．