Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹（n∈N*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设bn=log

an

n+1

2，数列{b_n}的前n项和为B_n，若存在整数m，使对任意n∈N*且n≥2，都有B3n-Bn＞

m

20

成立，求m的最大值；

Answer 1

分析：（1）根据a_n=S_n-S_n-1，求得数列的递推式，进而整理得

an

2n

-

an-1

2n-1

=1推断出数列{

an

2n

}是公差为1的等差数列．根据S₁=2a₁-2²，求得a₁，进而根据等差数列的通项公式求得

an

2n

，则a_n可求得．
（2）把（1）中求得a_n代入bn=log

an

n+1

2中求得b_n，则B_3n-B_n可求令f(n)=

1

n+1

+

1

n+2

++

1

3n

，进而表示出f（n+1）两式相减求得f（n+1）＞f（n），判断出数列{f（n）}为递增数列．进而求得数列的最小值，进而根据，

m

20

＜

19

20

，求得m的范围．利用m为整数求得m的最大值．

解答：解：（1）由S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹，得S_n-1=2a_n-1-2ⁿ（n≥2）．
两式相减，得a_n=2a_n-2a_n-1-2ⁿ，即a_n-2a_n-1=2ⁿ（n≥2）．
于是

an

2n

-

an-1

2n-1

=1，所以数列{

an

2n

}是公差为1的等差数列．
又S₁=2a₁-2²，所以a₁=4．
所以

an

2n

=2+(n-1)=n+1，
故a_n=（n+1）•2ⁿ．

（2）因为bn=log

an

n+1

2=log2n2=

1

n

，则B3n-Bn=

1

n+1

+

1

n+2

++

1

3n

．
令f(n)=

1

n+1

+

1

n+2

++

1

3n

，则f(n+1)=

1

n+2

+

1

n+3

++

1

3n

+

1

3n+1

+

1

3n+2

+

1

3n+3

．
所以f(n+1)-f(n)=

1

3n+1

+

1

3n+2

+

1

3n+3

-

1

n+1

=

1

3n+1

+

1

3n+2

-

2

3n+3

＞

1

3n+3

+

1

3n+3

-

2

3n+3

=0．
即f（n+1）＞f（n），所以数列{f（n）}为递增数列．
所以当n≥2时，f（n）的最小值为f(2)=

1

3

+

1

4

+

1

5

+

1

6

=

19

20

．
据题意，

m

20

＜

19

20

，即m＜19．又m为整数，
故m的最大值为18．

点评：本题主要考查了等差数列的确定，数列的单调性的应用．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．