Question

设函数f（x）的解析式满足f(x+1)=

x2+2x+a+1

x+1

 (a＞0)．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当a=1时，试判断函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性，并加以证明；
（3）当a=1时，记函数g(x)=

f(x)，x＞0 f(-x) ，x＜0

，求函数g（x）在区间[-2，-

1

2

]上的值域．

Answer 1

分析：（1）根据整体思想x+1=t（t≠0），则x=t-1，代入即可得到答案；（2）先把解析式化简后判断出单调性，再利用定义法证明：在区间上取值-作差-变形-判断符号-下结论，因解析式由分式，故变形时必须用通分．（3）根据题意判断出函数g（x）的奇偶性，根据（2）中函数的单调性，即可求出函数g（x）在区间[-2，-

1

2

]上的值域．

解答：解：（1）设x+1=t（t≠0），则x=t-1，
∴f(t)=

(t-1)2+2(t-1)+2a+1

t

=

t2+a

t

∴f(x)=

x2+a

x

（2）当a=1时，f(x)=

x2+1

x

=x+

1

x

f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
证明：设0＜x₁＜x₂＜1，则f(x1)-f(x2)=(x1+

1

x1

)-(x2+

1

x2

)=(x1-x2)+(

1

x1

-

1

x2

)=(x1-x2)+

x2-x1

x1x2

(x1-x2)(1-

1

x1x2

)=

(x1-x2)

x1x2

(x1x2-1)（8分）
∵0＜x₁＜x₂＜1，∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，x₁x₂-1＜0，
∴

(x1-x2)

x1x2

(x1x2-1)＞0，∴f（x₁）-f（x₂）＞0⇒f（x₁）＞f（x₂）
所以，f（x）在（0，1）上单调递减，
同理可证得f（x）在（1，+∞）上单调递增
（3）∵g(-x)=

f(-x)，-x＞0 f(x)   ，-x＜0

=

f(-x)，x＜0 f(x)，x＞0

=g(x)，
∴g（x）为偶函数，
所以，∴y=g（x）的图象关于y轴对称，
又当a=1，x∈[

1

2

，2]时，由（2）知g(x)=x+

1

x

在[

1

2

，1]单调减，[1，2]单调增，
∴g(x)min=g(1)=2，g(x)max=g(

1

2

)=g(2)=

5

2

∴当a=1时，函数g（x）在区间[-2，-

1

2

]上的值域的为[2，

5

2

]

点评：本题考查了有关函数的性质综合题，用换元法求解析式，用定义法证明函数的奇偶性和单调性，必须遵循证明的步骤，考查了分析问题和解决问题能力．属中档题．