题目内容

设函数f（x）的解析式满足 $数学公式$ ．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当a=1时，试判断函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性，并加以证明；
（3）当a=1时，记函数 $数学公式$ ，求函数g（x）在区间 $数学公式$ 上的值域．

解：（1）设x+1=t（t≠0），则x=t-1，
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
（2）当a=1时， $\text{[math]}$
f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
证明：设0＜x₁＜x₂＜1，则 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ （8分）
∵0＜x₁＜x₂＜1，∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，x₁x₂-1＜0，
∴ $\text{[math]}$ ，∴f（x₁）-f（x₂）＞0?f（x₁）＞f（x₂）
所以，f（x）在（0，1）上单调递减，
同理可证得f（x）在（1，+∞）上单调递增
（3）∵ $\text{[math]}$ ，
∴g（x）为偶函数，
所以，∴y=g（x）的图象关于y轴对称，
又当 $\text{[math]}$ 时，由（2）知 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 单调减，[1，2]单调增，
∴ $\text{[math]}$
∴当a=1时，函数g（x）在区间 $\text{[math]}$ 上的值域的为 $\text{[math]}$
分析：（1）根据整体思想x+1=t（t≠0），则x=t-1，代入即可得到答案；（2）先把解析式化简后判断出单调性，再利用定义法证明：在区间上取值-作差-变形-判断符号-下结论，因解析式由分式，故变形时必须用通分．（3）根据题意判断出函数g（x）的奇偶性，根据（2）中函数的单调性，即可求出函数g（x）在区间 $\text{[math]}$ 上的值域．
点评：本题考查了有关函数的性质综合题，用换元法求解析式，用定义法证明函数的奇偶性和单调性，必须遵循证明的步骤，考查了分析问题和解决问题能力．属中档题．