Question

设函数f（x）的解析式满足f(x+1)=

x2+2x+a+1

x+1

 (a＞0)．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当a=1时，试判断函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性，并加以证明；
（3）当a=1时，记函数g(x)=

f(x)，x＞0 f(-x) ，x＜0

，求函数g（x）在区间[-2，-

1

2

]上的值域．

Answer 1

（1）设x+1=t（t≠0），则x=t-1，
∴f(t)=

(t-1)2+2(t-1)+2a+1

t

=

t2+a

t

∴f(x)=

x2+a

x

（2）当a=1时，f(x)=

x2+1

x

=x+

1

x

f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
证明：设0＜x₁＜x₂＜1，则f(x1)-f(x2)=(x1+

1

x1

)-(x2+

1

x2

)=(x1-x2)+(

1

x1

-

1

x2

)=(x1-x2)+

x2-x1

x1x2

(x1-x2)(1-

1

x1x2

)=

(x1-x2)

x1x2

(x1x2-1)（8分）
∵0＜x₁＜x₂＜1，∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，x₁x₂-1＜0，
∴

(x1-x2)

x1x2

(x1x2-1)＞0，∴f（x₁）-f（x₂）＞0?f（x₁）＞f（x₂）
所以，f（x）在（0，1）上单调递减，
同理可证得f（x）在（1，+∞）上单调递增
（3）∵g(-x)=

f(-x)，-x＞0 f(x)   ，-x＜0

=

f(-x)，x＜0 f(x)，x＞0

=g(x)，
∴g（x）为偶函数，
所以，∴y=g（x）的图象关于y轴对称，
又当a=1，x∈[

1

2

，2]时，由（2）知g(x)=x+

1

x

在[

1

2

，1]单调减，[1，2]单调增，
∴g(x)min=g(1)=2，g(x)max=g(

1

2

)=g(2)=

5

2

∴当a=1时，函数g（x）在区间[-2，-

1

2

]上的值域的为[2，

5

2

]