Question

【题目】求下列函数的值域和单调区间：

（1）

（2）．

Answer 1

【答案】（1）值域为．单调递增区间为．单调递减区间为．（2）值域为．单调递增区间为．单调递减区间为．

【解析】

(1)先利用对数函数的性质，令，求得，然后，利用复合函数的性质判断单调区间即可.

(2)利用换元法，设，则，然后求出值域，进而利用复合函数的性质判断单调区间.

解 （1）由，解得．

设，则．

∴，即函数的值域为．

因为在区间上单调递增，即当时，u随着x的增大而增大，y随着u的增大而减小，所以函数的单调递减区间为．

同理，因为在区间上单调递减，即当时，u随着x的增大而减小，y随着u的减小而增大，所以函数的单调递增区间为．

（2）函数整理，得，定义域为．

设，则．

∵，所以函数的值域为．

因为在上单调递减，此时由即．解不等式，得，即当时，u随着x的增大而增大，y随着u的增大而减小，所以函数的单调递减区间为．

同理，因为在上单调递增，此时由即．解不等式，得，即当时，u随着x的增大而增大，y随着u的增大而增大，所以函数的单调递增区间为．