Question

【题目】设函数，．

（Ⅰ）讨论函数的单调性；

（Ⅱ）证明：不等式在区间上恒成立．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）函数在区间上单调递减，在区间上单调递增；（Ⅱ）证明见解析.

【解析】

（Ⅰ）先对函数求导，分别研究，时，的正负，即可得出单调性；

（Ⅱ）根据题意，先得到“不等式在区间上恒成立”， 令，对函数求导，研究其单调性，求出最值，即可证明结论成立.

（Ⅰ）函数的定义域是．

由，得，

当时，，，所以．所以，即；

当时，，，所以由两边同时乘以正数，得，

即．所以，即．

所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．

（Ⅱ）证明：“不等式在区间上恒成立”等价于“不等式在区间上恒成立”．

令，则进一步转化为需要证明“不等式在区间上恒成立”．

求导得，令，则．

因为当时，，所以函数在区间上单调递增．

所以函数在区间上最多有一个零点．

又因为，，所以存在唯一的，使得．

且当时，；当时，，

即当时，；当时，，

所以函数在区间上单调递减，在上单调递增．

从而．

由，得，即，两边取对数，得，

所以．

所以．即．

从而证得不等式在区间上恒成立．