Question

【题目】已知函数

（1）求函数的极值；

（2）当时，过原点分别做曲线 与的切线，，若两切线的斜率互为倒数，求证：.

Answer 1

【答案】（1）函数有极大值，无极小值.（2）

【解析】试题分析：

(1)对函数求导，

①若时，在无极大值和极小值

②若，函数有极大值，无极小值.

(2) 设出切线方程，构造函数，分段讨论函数的性质可得.

试题解析：

解：（1）

①若时，

所以函数在单调递增，故无极大值和极小值

②若，由得，

所以.函数单调递增，，函数单调递减

故函数有极大值，无极小值.

（2）设切线的方程为，切点为，则，

，所以，，则．

由题意知，切线的斜率为，的方程为．

设与曲线的切点为，则 ，

所以，．

又因为，消去和后，整理得

令，则，

所以在上单调递减，在上单调递增．

又为的一个零点，所以

①若，因为，，所以，

因为

所以 ，所以．

②若，因为在上单调递增，且，则，

所以（舍去）．

综上可知，