Question

【题目】已知函数，．

（1）当时，求的单调增区间；

（2）令.

①当时，若函数恰有两个不同的零点，求的值；

②当时，若的解集为，且中有且仅有一个整数，求实数b的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）单调增区间是和； （2）① .

【解析】

（1）先求导数，再解不等式得结果，（2）①根据题意得极值点函数值为零，解方程即得结果，②研究函数先分析中有解的必要条件，即最小值小于零，再结合图象确定有且仅有一个整数的条件，即得结果.

（1）当时，，．

令，解得或，

所以的单调增区间是和．

（2）因为.

①，令，得或，

因为函数有两个不同的零点，所以或．

当时，得，不合题意，舍去；

当时，代入得，

即，所以．

②当时，因为，所以，

设，则，

当时，因为，所以在上递增，且，

所以在上，，不合题意；

当时，令，得，

所以在递增，在递减，

所以，

要使有解，首先要满足，解得． ①

又因为，，

要使的解集中只有一个整数，则

即 解得． ②

设，则，

当时，，递增；当时，，递减．

所以，所以，

所以由①和②得，．