Question

如图,已知DA⊥平面ABE,四边形ABCD是边长为2的正方形,在△ABE中,AE=1,BE=.

(1)证明平面ADE⊥平面BCE;

(2)求二面角B-AC-E的大小.

Answer 1

解法一:(1)证明:∵DA⊥平面ABE,∴DA⊥BE.

又在△ABE中,易知BE⊥EA,EA∩DA=A,

∴BE⊥平面ADE.

∵BE平面BCE,

∴平面BCE⊥平面ADE.                                                    

(2)过点E作EF⊥AB于F,

∵DA⊥平面ABE,

∴平面ABCD⊥平面ABE.

∴EF⊥平面AC.作FG⊥AC于G,连结EG,则EG⊥AC,∠EGF就是二面角B-AC-E的平面角.

在Rt△EFG中,tan∠EGF===,

∴所求二面角的大小是arctan.                                          

解法二:建立图示空间直角坐标系,则A(0,-,0),B(0,,0),C(0,,2),D(0,-,2),E(,0,0),∴=(0,2,2),=(0,0,2),=(,,0), =(,-,0).          

(1)∵·=0, ·=0,

∴AE⊥BC,AE⊥BE.

又BC∩BE=B,∴AE⊥平面BCE.

∵AE平面ADE,

∴平面ADE⊥平面BCE.                                                 

(2)设n=(x,y,1)⊥平面ACE,由得n=(,-1,1),又是平面ABCD的法向量,

∵cos〈n, 〉==,

∴所求二面角的大小是arccos.