Question

如图，已知平面α⊥平面β，A、B是平面α与平面β的交线上的两个定点，DA?β，CB?β，且DA⊥α，CB⊥α，AD=4，BC=8，AB=6，在平面α上有一个动点P，使得∠APD=∠BPC，则△PAB的面积的最大值是（　　）

A．24

B．32

C．12

D．48

Answer 1

分析：利用线面垂直的性质可以得到△PAD与△PBC是直角三角形，再由∠APD=∠BPC得到两直角三角形相似，
过P作PM⊥AB与M，则M为三角形PAB底边AB上的高，设出AM的长度t，通过解直角三角形把AM用含有t的代数式表示，代入三角形面积公式后利用配方法求面积的最大值．

解答：解：由题意平面α⊥平面β，A、B是平面α与平面β的交线上的两个定点，DA?β，CB?β，
且DA⊥α，CB⊥α，∴△PAD与△PBC是直角三角形，又∠APD=∠BPC，
∴△PAD∽△PBC，又AD=4，BC=8，
∴PB=2PA
如图，

作PM⊥AB，垂足为M，令AM=t，
在两个Rt△PAM与Rt△PBM中，AM是公共边及PB=2PA
∴PA²-t²=4PA²-（6-t）²
解得PA²=12-4t
∴PM=

12-4t-t2

．
∴S=

1

2

×AB×PM=

1

2

×6×

12-4t-t2

=3

12-4t-t2

=3

16-(t+2)2

≤12．
即三角形面积的最大值为12．

点评：本题考查了平面与平面垂直的性质，考查了学生的空间想象能力，解答此题的关键是借助于三角形相似寻找关系，是中档题．