Question

如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=

2

，AF=1．
（1）求直线DF与平面ACEF所成角的正弦值；
（2）在线段AC上找一点P，使

PF

与

DA

所成的角为60°，试确定点P的位置．

Answer 1

分析：（1）以

CD

 ， 

CB

 ， 

CE

为正交基底，建立如图空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求面ACEF的一个法向量

n

，直线DF与平面ACEF所成角的正弦值，即求|c0s＜

DF

，

n＞

|；（2）设出点 P的坐标，求出

PF

与

DA

，根据向量的数量积的定义求得点P的坐标，确定点P的位置．

解答：解：（1）以

CD

，

CB

，

CE

为正交基底，建立如图空间直角坐标系，
则E(0，0，1)，D(

2

，0，0)，B(0，

2

，0)，A(

2

，

2

，0)，F(

2

，

2

，1)，
因为AC⊥BD，AF⊥BD，
所以

BD

是平面ACEF法向量，
又因为

DB

=(-

2

，

2

，0)，

DF

=(0，

2

，1)，
所以cos?

DF

，

DB

＞=

3

3

，
故直线DF与平面ACEF所成角正弦值为

3

3

．

（2）设P（a，a，0）(0≤a≤

2

)，则

PF

=(

2

-a，

2

-a，1)，

DA

=(0，

2

，0)．
因为＜

PF

，

DA

＞=60°，所以cos60°=

2 ( 2 -a)

2 × 2( 2 -a)2+1

=

1

2

．
解得a=

2

2

，故存在满足条件的点P为AC的中点．

点评：考查利用空间向量求线面角和异面直线所成的角，注意①线面角与斜线和面的法向量所成角之间的关系，及异面直线所成角的范围，②用空间向量解立体几何问题的步骤；①建系，②立体几何问题向量化，③解向量问题，④回归立体几何问题，属中档题．