题目内容

设函数f(x)＝ax3－2bx2＋cx＋4d(a、b、c、d∈R)图象关于原点对称，

且x＝1时，f(x)取极小值．

(1)求a、b、c、d的值；

(2)当x∈[－1，1]时，函数f(x)图象上是否存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直？试证明你的结论．

答案：
解析：

　　解(1)∵函数图象关于原点对称，

　　∴对任意实数，　　　　1分

　　，

　　即恒成立　　　　2分

　　　　　　3分

　　，　　　　5分

　　时，取极小值

　　，　　　　7分

　　解得　　　　8分

　　(2)当时，图象上不存在这样的两点使结论成立　　　　9分

　　假设图象上存在两点、，使得过此两点处的切线互相垂直，

　　则由知两点处的切线斜率分别，　　　　10分

　　且…(*)　　　　11分

　　、，　　　　12分

　　此与(*)相矛盾，故假设不成立　　　　13分


练习册系列答案
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设函数f(x)＝ax＋cosx，x∈[0，π]．

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)设f(x)≤1＋sinx，求a的取值范围．

设函数f(x)＝ax－lnx－3(a∈R)，g(x)＝．

(Ⅰ)若函数 g(x)的图象在点(0，0)处的切线也恰为f(x)图象的一条切线，求实数a的值；

(Ⅱ)是否存在实数a，对任意的x∈(0，e]，都有唯一的x0∈[e－4，e]，使得f(x0)＝g(x)成立．若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．注：e是自然对数的底数．

设函数f(x)＝ax＋2，
不等式|f(x)|<6的解集为(－1,2)，
试求不等式≤1的解集．

设函数 f (x)＝ax－lnx－3（a∈R），g(x)＝xe1－x．

          （Ⅰ）若函数 g(x) 的图象在点 (0,0) 处的切线也恰为 f (x) 图象的一条切线，求实数    a的值；

          （Ⅱ）是否存在实数a，对任意的 x∈(0,e]，都有唯一的 x0∈[e－4,e]，使得 f (x0)＝g(x) 成立．若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

 

注：e是自然对数的底数．

 

设函数f(x)＝ax＋ (a，b∈Z)，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方

 

程为y＝3.

(1)求f(x)的解析式；

(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点的切线与直线x＝1和直线y＝x所围三角形的面积为定值，

并求出此定值．

 

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