Question

设函数f(x)＝ax＋ (a，b∈Z)，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方

 

程为y＝3.

(1)求f(x)的解析式；

(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点的切线与直线x＝1和直线y＝x所围三角形的面积为定值，

并求出此定值．

 

Answer 1

【答案】

(1)解　f′(x)＝a－，

 

解得或

 

 

因为a，b∈Z，故f(x)＝x＋.

 

(2)证明　在曲线上任取一点，由f′(x₀)＝1－知，过此点的切线

 

方程为y－＝[1－] (x－x₀)．

 

令x＝1，得y＝，   切线与直线x＝1的交点为 (1, )；

 

 

令y＝x，得y＝2x₀－1，切线与直线y＝x的交点为(2x₀－1,2x₀－1)；

直线x＝1与直线y＝x的交点为(1,1)，从而所围三角形的面积为

|2x₀－1－1|＝2.

 

所以，所围三角形的面积为定值2.

 

【解析】略