Question

如图：在四棱锥中，底面是正方形，，，点在上，且.

（1）求证：平面；   
（2）求二面角的余弦值；
（3）证明：在线段上存在点，使∥平面，并求的长.

Answer 1

（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析．．

试题分析：（1）要证线面垂直，就是要证与平面内的两条相交直线垂直，如，虽然题中没有给出多少垂直关系，但有线段的长度，实际上在中应用勾股定理就能证明，同理可证，于是可得平面；（2）由于在（1）已经证明了两两垂直，因此解决下面的问题我们可以通过建立空间直角坐标系，利用空间向量法解题.以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，，，，，，，这样我们只要求出平面和平面的法向量，利用法向量的夹角与二面角相等可互补可得所求二面角大小；（3）线段上的点的坐标可写为，这样若有平面，即与（2）中所求平面的法向量垂直，由此可出，若，说明在线段上存在符合题意的点，否则就是不存在.
试题解析：（1）证明：，，
，同理      2分
又，平面.     4分
（2）以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，
则       6分
平面的法向量为，
设平面的法向量为                 7分
，由，，取 ，  8分
设二面角的平面角为
，二面角的余弦值为.     10分
（3）假设存在点，使∥平面，
令，      12分
 由∥平面，，解得
存在点为的中点，即．     14分