Question

（08年辽宁卷文）（本小题满分12分）

     如图，在棱长为1的正方体中，AP=BQ=b（0＜b＜1），截面PQEF∥A′D，截面PQGH∥AD′.

 

     （Ⅰ）证明：平面和平面互相垂直;

     （Ⅱ）证明：截面和截面面积之和是定值，并求出这个值;

     （Ⅲ）若，求D′E与平面PQEF所成角的正弦值.

 

Answer 1

本小题主要考查空间中的线面关系和面面关系，解三角形等基础知识，

考查空间想象能力与逻辑思维能力．满分12分．

解法一：

（Ⅰ）证明：在正方体中，，，

又由已知可得，，，

所以，，所以平面．

所以平面和平面互相垂直．4分

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知

，又截面PQEF和截面PQGH都是矩形，且PQ=1，所以截面PQEF和截面PQGH面积之和是

，是定值．8分

（Ⅲ）解：设交于点，连结，

因为平面，所以为与平面所成的角．

因为，所以分别为 ，，，的中点．

可知，．所以．12分

解法二：

以D为原点，射线DA，DC，DD′分别为x，y，z轴的正半轴建立如图的空间

直角坐标系D－xyz．由已知得，故

，，，，，，，

，，．

 

 

（Ⅰ）证明：在所建立的坐标系中，可得

，

，

．

因为，所以是平面PQEF的法向量．

因为，所以是平面PQGH的法向量．

因为，所以，所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直．…4分

（Ⅱ）证明：因为，所以，又，

所以PQEF为矩形，同理PQGH为矩形．

在所建立的坐标系中可求得，，

所以，又，

所以截面PQEF和截面PQGH面积之和为，是定值．???????????????????????????? 8分

（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知是平面的法向量．

由为中点可知，分别为，，的中点．

所以，，因此与平面所成角的正弦值等于

．12分