Question

【题目】多面体中，△为等边三角形，△为等腰直角三角形，平面，平面.

（1）求证：；

（2）若，，求平面与平面所成的较小的二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）利用线面平行的性质定理，分别证得和，即可证；

（2）分别证得两两垂直，建立空间直角坐标系即可求解.

解：（1）证明：因为平面，

平面，平面平面，

所以，

同理可证，，

所以.

（2）因为△为等腰直角三角形，，所以，，

又，，所以四边形为平行四边形，

所以，

因为△为等边三角形，所以，

取的中点，连结、，

因为，则，

又，且，

所以四边形为平行四边形，

所以，

在中，，

所以，即，进而，

同理可证，进而，

以点为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，，

设平面的一个法向量为，

则，令，则，，

所以，

易知平面的一个法向量为，

，

所以平面与平面所成的较小的二面角的余弦值为.