Question

已知cos(

π

2

-α)=

2

cos(

3π

2

+β)，

3

sin(

3π

2

-α)=-

2

sin(

π

2

+β)，且0＜α＜π，0＜β＜π，求α，β的值．

Answer 1

分析：利用诱导公式化简已知的两等式，得到两个关系式，两关系式左右分别平方，相加后利用同角三角函数间的基本关系化简，再由sin²α+cos²α=1，求出sinα的值，进而确定出sinβ的值，由α与β的范围，即可求出各自的值．

解答：解：∵cos（

π

2

-α）=sinα，cos（

3π

2

+β）=sinβ，sin（

3π

2

-α）=-cosα，sin（

π

2

+β）=cosβ，
∴已知的两等式变形为：sinα=

2

sinβ①，-

3

cosα=-

2

cosβ②，
①²+②²得：sin²α+3cos²α=2（sin²β+cos²β）=2，
又sin²α+cos²α=1，0＜α＜π，0＜β＜π，
∴sin²α=cos²α=

1

2

，即sinα=

2

2

，sinβ=

1

2

，
∴α=

π

4

，β=

π

6

或α=

3π

4

，β=

5π

6

．

点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，以及诱导公式的作用，熟练掌握基本关系及诱导公式是解本题的关键．