Question

其中a＞0
（1）若f（x）在R上连续，求c
（2）若要使，则a与b应满足哪些条件？
（3）若对于任意的a∈[2，3]，f（x）是[0，+∞）的单调减函数，求b的范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）：由f（x）在R上连续，可得=，从而可求c
（2）b＜0，显然不成立，则b＞0，对所求的式子进行分子有理化，进而可求得极限为0时a，b的关系
（3）由对于任意的a∈[2，3]，f（x）是[0，+∞）的单调减函数可得f′（x）≤0在x∈[0，+∞），a∈[2，3]时恒成立，分离可得在x∈[0，+∞），a∈[2，3]时恒成立，通过求解的最大值可求b的范围
解答：解：（1）：因为f（x）在R上连续，所以=
∴c=1
（2）若b＜0，则显然不成立
∵==
=
故当且仅当b＞0，且a=b²时
（3）∵对于任意的a∈[2，3]，f（x）是[0，+∞）的单调减函数
即f′（x）≤0在x∈[0，+∞），a∈[2，3]时恒成立
∴
∴在x∈[0，+∞），a∈[2，3]时恒成立
因为=
∴
点评：本题主要考查了函数的连续的定义的应用，∞-∞型的极限的求解，一般的 处理方法是进行分子有理化，及函数的导数与函数的单调性的关系，属于函数知识的综合应用