Question

（2012•奉贤区二模）函数f（x）=lg（

4x2+b

+2x），其中b＞0
（1）若f（x）是奇函数，求b的值；
（2）在（1）的条件下，判别函数y=f（x）的图象是否存在两点A，B，使得直线AB平行于x轴，说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据f（x）是奇函数，得f（x）=lg

b

=0，解之得b=1，再代入原函数加以检验即可．
（2）用反证法的思想，假设存在 A、B两点，使得AB平行x轴，则k_AB=0，结合函数表达式，化简整理得4x₁²+4x₂²+1=0，与平方大于或等于0矛盾．由此可得假设不成立，所以函数图象上不存在两点A，B，使得直线AB平行于x轴．

解答：解：（1）∵b＞0，∴

4x2+b

＞|2x|≥-2x，可得

4x2+b

+2x＞0恒成立，
所以函数f（x）=lg（

4x2+b

+2x）的定义域是R，关于原点对称      …（2分）
∵f（x）是奇函数，
∴f（x）=0，得lg

b

=0，所以b=1                                  
此时 f（x）=lg（

4x2+1

+2x），可得 f（-x）=lg（

4x2+1

-2x ）
∴f（x）+f（-x）=lg[（

4x2+1

+2x）（

4x2+1

-2x ）]=lg1=0
因此，f（-x）=-f（x），函数是奇函数，符合题意．
所以，实数b的值为1…（5分）
（2）假设存在A、B两点，使得AB平行x轴，则k_AB=0     …（6分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），得k_AB=

y1-y2

x1-x2

=0，即y₁=y₂，
∴结合函数表达式，得lg（

4x12+1

+2x1）=lg（

4x22+1

+2x2）       …（7分）
可得

4x12+1

-

4x22+1

=2x2-2x1
两边平方化简得到：（x₁-x₂）²=0，得x₁=x₂，与题设x₁≠x₂矛盾  …（10分）
∴原假设不成立，即y=f（x）的图象上不存在两点，使得所连的直线与x轴平行             …（11分）

点评：本题给出含有根式的对数型函数，讨论函数的奇偶性和图象．考查了基本初等函数的单调性与奇偶性等知识，属于中档题．