题目内容

已知函数 $数学公式$ ，其中a＞0
（1）若f（x）的极大值点为x=-2，求a的值
（2）若不等式 $数学公式$ 对任意x∈[0，+∞）恒成立，求a的取值范围．

解：（1）f′（x）=（2x-1）e^ax+a（ $\text{[math]}$ ）e^ax
=[ax²+（2-a）x-2]e^ax，
令f′（x）=0，得x=- $\text{[math]}$ ，或x=1．
∴极值点为x=- $\text{[math]}$ ，或x=1．
∵f（x）的极大值点为x=-2，
∴- $\text{[math]}$ =-2，
解得a=1．
（2）∵不等式 $\text{[math]}$ 对任意x∈[0，+∞）恒成立，
$\text{[math]}$ ，其中a＞0，
∴ $\text{[math]}$ 对任意x∈[0，+∞）恒成立，
设g（x）=（ $\text{[math]}$ ）e^ax+ $\text{[math]}$ ，
则g′（x）=[ax²+（2-a）x-2]e^ax，
令g′（x）=0，得x=- $\text{[math]}$ ，或x=1．
∵a＞0，∴列表讨论：

x	（0，- $\text{[math]}$ ）	- $\text{[math]}$	（- $\text{[math]}$ ，1）	1	（1，+∞）
g′（x）	+	0	-	0	+
g（x）	↑	极大值	↓	极小值	↑

∵g（0）= $\text{[math]}$ ＞0，g（1）= $\text{[math]}$ ＜0，
∴f（1）= $\text{[math]}$ 为最小值
∴ $\text{[math]}$ ≥0对x∈[0，+∞）恒成立，
∴a∈（0，ln3]．
分析：（1）f′（x）=[ax²+（2-a）x-2]e^ax，令f′（x）=0，得x=- $\text{[math]}$ ，或x=1．再由f（x）的极大值点为x=-2，能求出a．
（2）讨论满足f′（x）=0的点将区间（0，+∞）分成几段，然后利用列表法求出f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值，从而求出最小值，使[f（x）+ $\text{[math]}$ ]min≥0恒成立，求出a的取值范围即可．
点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查计算能力和分析问题的能力．