题目内容
已知三点A（2，1）、B（3，2）、D（-1，4）．
（1）证明：AB⊥AD．
（2）若点C使得四边形ABCD为矩形，求点C的坐标，并求该矩形对角线所夹的锐角的余弦值．
（1）证明：AB⊥AD．
（2）若点C使得四边形ABCD为矩形，求点C的坐标，并求该矩形对角线所夹的锐角的余弦值．
（1）证明：可得
=(1，1)，
=(-3，3)，
•
=1×(-3)+1×3=0，
∴AB⊥AD；
（2）由（1）及四边形ABCD为矩形，得
=
，设C（x，y），
则（1，1）=（x+1，y-4），∴
，得
，即C（0，5）；
∴
=(-2，4)，
=(-4，2)，
得
•
=8+8=16，|
|=2
，|
|=2
，
设
与
夹角为θ，则cosθ=
=
＞0，
∴该矩形对角线所夹的锐角的余弦值
．
| AB |
| AD |
| AB |
| AD |
∴AB⊥AD；
（2）由（1）及四边形ABCD为矩形，得
| AB |
| DC |
则（1，1）=（x+1，y-4），∴
|
|
∴
| AC |
| BD |
得
| AC |
| BD |
| AC |
| 5 |
| BD |
| 5 |
设
| AC |
| BD |
| 16 |
| 20 |
| 4 |
| 5 |
∴该矩形对角线所夹的锐角的余弦值
| 4 |
| 5 |
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