Question

已知三点A（2，1）、B（3，2）、D（-1，4）．
（1）证明：AB⊥AD．
（2）若点C使得四边形ABCD为矩形，求点C的坐标，并求该矩形对角线所夹的锐角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）求出向量的坐标，利用向量的数量积为0，两向量垂直证出两线垂直．
（2）利用向量相等对应的坐标相等求出点C的坐标，求出两对角线对应的向量坐标，利用向量的数量积公式求出向量的夹角．

解答：（1）证明：可得

AB

=(1，1)，

AD

=(-3，3)，

AB

•

AD

=1×(-3)+1×3=0，
∴AB⊥AD；
（2）由（1）及四边形ABCD为矩形，得

AB

=

DC

，设C（x，y），
则（1，1）=（x+1，y-4），∴

x+1=1 y-4=1

，得

x=0 y=5

，即C（0，5）；
∴

AC

=(-2，4)，

BD

=(-4，2)，
得

AC

•

BD

=8+8=16，|

AC

|=2

5

，|

BD

|=2

5

，
设

AC

与

BD

夹角为θ，则cosθ=

16

20

=

4

5

＞0，
∴该矩形对角线所夹的锐角的余弦值

4

5

．

点评：本题考查两向量垂直的充要条件并利用向量垂直证明两线垂直；利用向量的数量积求向量的夹角．