Question

设抛物线C：y²=4x，F为C的焦点，过F的直线L与C相交于A、B两点．
（1）设L的斜率为1，求|AB|的大小；
（2）求证：

OA

•

OB

是一个定值．

Answer 1

分析：（1）把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系及抛物线的定义、弦长公式即可得出；
（2）把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系、向量的数量积即可得出；

解答：（1）解：∵直线L的斜率为1且过点F（1，0），∴直线L的方程为y=x-1，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立

y=x-1 y2=4x

消去y得x²-6x+1=0，△＞0，
∴x₁+x₂=6，x₁x₂=1．
∴|AB|=x₁+x₂+p=8．
（2）证明：设直线L的方程为x=ky+1，联立

x=ky+1 y2=4x

消去x得y²-4ky-4=0．△＞0，
∴y₁+y₂=4k，y₁y₂=-4，
设A=（x₁，y₁），B=（x₂，y₂），则

OA

=(x1，y1)，

OB

=(x2，y2)．
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=（ky₁+1）（ky₂+1）+y₁y₂
=k²y₁y₂+k（y₁+y₂）+1+y₁y₂=-4k²+4k²+1-4=-3．
∴

OA

•

OB

=-3是一个定值．

点评：熟练掌握直线与抛物线的相交问题的解题模式、根与系数的关系及抛物线的定义、弦长公式、向量的数量积是解题的关键．