题目内容

设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点到准线的距离是2.
(Ⅰ)求此抛物线方程;
(Ⅱ)设点A,B在此抛物线上,点F为此抛物线的焦点,且
FB
AF
,若λ∈[4,9],求直线AB在y轴上截距的取值范围.
分析:(Ⅰ)根据焦点到准线的距离求得p,则抛物线方程可得.
(Ⅱ)设出直线AB的方程与抛物线方程联立消去y,设A(x1,y1),B(x1,y1)根据韦达定理可表示出x1+x2和x1•x2,根据
FB
AF
,进而求得x22•x1,进而根据x1•x2=1,消去x2,求得x1和x2,代入x1+x2中,求得λ和k的关系式,根据y=
1
λ
在[4,9]上递增,进而求得y的范围进而求得k的范围,进而求得直线在x轴上的截距的范围可得.
解答:解:(Ⅰ)因为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点到准线的距离p=2
所以此抛物线方程为y2=4x
(Ⅱ)由题意,直线AB的斜率存在.F(1,0),设直线AB的方程为y=k(x-1)
y=k(x-1)
y2=4x
消y,整理得,k2x2-(2k2+4)x+k2=0
△=(2k2+4)2-4k4=16k2+16>0,
设A(x1,y1),B(x1,y1)则x1+x2=2+
4
k2
,x1•x2=1
因为
FB
AF
,所以(x2-1,y2)=λ(1-x1,-y1),于是
x2-1=λ-λx1
y2=-λy1

由y2=-λy1,得y222y12?4x22•4x1?x22•x1
又x1•x2=1,
消x2得λ2•x12=1,
因为x1>0,所以x1=
1
λ
,从而,x2=λ.
代入x1+x2=2+
4
k2
得,
1
λ
+λ=2+
4
k2

y=
1
λ
+λ=2+
4
k2

因为y=
1
λ
在[4,9]上递增,
所以4+
1
4
≤y=
1
λ
+λ≤9+
1
9
,即4+
1
4
≤2+
4
k2
≤9+
1
9
?
9
4
4
k2
64
9
?
9
16
k2
16
9

于是,-
4
3
≤-k≤-
3
4
,或
3
4
≤-k≤
4
3

所以直线AB在y轴上截距的取值范围为:[-
4
3
,-
3
4
]∪[
3
4
4
3
]
点评:本题主要考查了抛物线的标准方程,直线与抛物线的关系,向量的计算等.考查了学生运用所学知识灵活解决问题的能力.
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