Question

设A=[-1，1]，B=[-，]，函数f（x）=2x²+mx-1．
（1）设不等式f（x）≤0的解集为C，当C⊆（A∪B）时，求实数m取值范围；
（2）若对任意x∈R，都有f（1+x）=f（1-x）成立，试求x∈B时，f（x）的值域；
（3）设g（x）=|x-a|-x²-mx（a∈R），求f（x）+g（x）的最小值．

Answer 1

解：（1）∵A=[-1，1]，B=[-，]，C⊆A∪B=A，二次函数f（x）=2x²+mx-1图象开口向上，且△=m²+8＞0恒成立，
故图象始终与x轴有两个交点，由题意，要使这两个交点横坐标x₁，x₂∈[-1，1]，当且仅当：，…（4分），解得：-1≤m≤1 …（5分）
（2）对任意x∈R都有f（1+x）=f（1-x），所以f（x）象关于直线x=1对称，所以-=1，得m=-4．（7分）
所以f（x）=2（x-1）²-3为[-，]上减函数．f（x）_min=-2；f（x）_max=2．故x∈B时，f（x）值域为[-2，2]．…（9分）
（3）令φ（x）=f（x）+g（x），则φ（x）=x²+|x-a|-1，
（i）当x≤a时，φ（x）=x²-x+a-1=+a-，
当a≤，则函数φ（x）在（-∞，a]上单调递减，从而函数φ（x）在（-∞，a]上的最小值为φ（a）=a²-1．
若a＞，则函数φ（x）在（-∞，a]上的最小值为φ（）=-+a，且φ（-）≤φ（a）．（12分）
（ii）当x≥a时，函数φ（x）=x²+x-a-1=-a-，
若a≤-，则函数φ（x）在（-∞，a]上的最小值为φ（-）=--a，且φ（-）≤φ（a），
若a＞-，则函数φ（x）在[a，+∞）上单调递增，
从而函数φ（x）在[a，+∞）上的最小值为φ（a）=a²-1．…（15分）
综上，当a≤-时，函数φ（x）的最小值为--a，当-＜a≤时，函数φ（x）的最小值为a²-1；当a＞时，函数φ（x）的最小值为-+a． …（16分）
分析：（1）依题意，C⊆A∪B=A=[-1，1]，二次函数f（x）=2x²+mx-1图象开口向上，且△=m²+8＞0恒成立，图象始终与x轴有两个交点?，从而可求得实数m取值范围；
（2）由于f（x）象关于直线x=1对称，可得m=-4，由f（x）=2（x-1）²-3为[-，]上减函数可求得x∈B时，f（x）的值域；
（3）令φ（x）=f（x）+g（x），则φ（x）=x²+|x-a|-1，分x≤a与x≥a先去掉绝对值符号，再根据其对称轴对a分类讨论，利用函数的单调性即可求得答案．
点评：本题考查带绝对值的函数，考查集合关系中的参数取值问题，突出考查二次函数的性质，考查综合分析与运算能力，考查分类讨论思想，化归思想，方程思想的运用，属于难题．