题目内容

已知向量
u
=(x，y)与
v
=(y，2y-x)的对应关系用
v
=f(
u
)表示．
（Ⅰ）设
a
=(1，1)，
b
=(1，0)，求向量f(
a
)及f(
b
)的坐标；
（Ⅱ）求使f(
c
)=(p，q)，（p，q为常数）的向量
c
的坐标；
（Ⅲ）证明：对于任意向量
a
，
b
及常数m，n恒有f(m
a
+n
b
)=mf(
a
)+nf(
b
)成立．
分析：（I）由已知中向量
u
=(x，y)与
v
=(y，2y-x)的对应关系用
v
=f(
u
)表示，我们根据
a
=(1，1)，
b
=(1，0)，易得向量f(
a
)及f(
b
)的坐标；
（II）设
c
=（x，y），根据f(
c
)=(p，q)，我们可以构造关于x，y的方程，解方程即可求出向量
c
的坐标；
（Ⅲ）设
a
=(a1，a2)，
b
=(b1，b2)，分别求出f(m
a
+n
b
)和mf(
a
)+nf(
b
)的坐标，比照后即可得到结论．
解答：解：（I）由已知得f(
a
)=（1，1），f(
b
)=（0，-1）
（II）设
c
=（x，y），则f(
c
)=(y，2y-x)=(p，q)，
∴y=p，x=2p-q，即
c
=（2P-q，p）．
（III）设
a
=(a1，a2)，
b
=(b1，b2)，则m
a
+n
b
=(ma1+nb1，ma2+nb2)，
故　f(m
a
+n
b
)=(ma2+nb2，2ma2+2nb2-ma1-nb1)=m（a2，2a2-a1）+n（b2，2b2-b1），
∴f(m
a
+n
b
)=mf(
a
)+nf(
b
)
点评：本题考查的知识点是平面向量的坐标运算，其中正确理解新定义向量
u
=(x，y)与
v
=(y，2y-x)的对应关系用
v
=f(
u
)表示是解答本题的关键．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
u
=(x，y)与向量
v
=(y，2y-x)的对应关系可用
v
=f(
u
)表示．
（1）设
a
=(1，1)，
b
=(1，0)，求向量f(
a
)及f(
b
)的坐标；
（2）证明：对于任意向量
a
、
b
及常数m、n，恒有f(m
a
+n
b
)=mf(
a
)+nf(
b
)成立；
（3）求使f(
c
)=(3，5)成立的向量
c
．
已知向量
u
=(x，y)与向量
v
=(y，2y-x)的对应关系可用
v
=f(
u
)表示．
（1）设
a
=(1，1)，
b
=(1，0)，求向量f(
a
)及f(
b
)的坐标；
（2）证明：对于任意向量
a
、
b
及常数m、n，恒有f(m
a
+n
b
)=mf(
a
)+nf(
b
)成立；
（3）求使f(
c
)=(3，5)成立的向量
c
．
已知向量
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=(x，y)与
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=(y，2y-x)的对应关系用
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=f(
u
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（Ⅰ）设
a
=(1，1)，
b
=(1，0)，求向量f(
a
)及f(
b
)的坐标；
（Ⅱ）求使f(
c
)=(p，q)，（p，q为常数）的向量
c
的坐标；
（Ⅲ）证明：对于任意向量
a
，
b
及常数m，n恒有f(m
a
+n
b
)=mf(
a
)+nf(
b
)成立．
已知向量u=(x，y)与向量v=(y，2y-x)的对应关系可用v=f(u)表示.

(1)证明对于任意向量a、b及常数m、n，恒有f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)成立；

(2)设a=(1，1)，b=(1，0)，求向量f(a)及f(b)的坐标；

(3)求使f(c)=(3，5)成立的向量c.

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