Question

【题目】已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，.

（1）求f(x)的解析式；

（2）设x∈[1,2]时，函数，是否存在实数m使得g(x)的最小值为6，若存在，求m的取值；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）.

【解析】

（1）设，根据计算，利用奇偶性即可求解函数解析式；

（2）通过换元，问题转化为二次函数h (t)在[2， 4]上的最小值为6，再通过分类讨论得出结论.

（1）设，则，

由当x>0时，可知，，

又f（x）为R上的奇函数，

于是，

故当时，，

当时，由知，

综上知

（2）由（1）知，x∈[1,2]时，

，

令，，

函数g(x)的最小值为6，即在上的最小值为6，

①当，即m＞﹣5时，函数h（t）在[2，4]上为增函数，

于是h（t）min＝h（2）＝6，此时存在满足条件的实数m＞﹣5；

②当，即﹣9≤m≤﹣5时，，解得，此时满足条件；

③当，即m＜﹣9时，函数h（t）在[2，4]上为减函数，

于是h（t）min＝h（4）＝2m+20＝6，解得，此时不存在满足条件的实数m；

综上，存在使得函数g（x）的最小值为6．