Question

【题目】已知函数在处有极值．

（1）求的解析式；

（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由题意得出可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，进而可求得函数的解析式；

（2）构造函数，由题意可知，不等式对任意的恒成立，求出导数，对实数进行分类讨论，分析函数在区间上的单调性，求出其最大值，通过解不等式可求得实数的取值范围.

（1），，

因为函数在处有极值，

得，，解得，，

所以；

（2）不等式恒成立，

即不等式恒成立，

令，

则不等式对任意的恒成立，则.

．

又函数的定义域为.

①当时，对任意的，，则函数在上单调递增．

又，所以不等式不恒成立；

②当时，．

令，得，当时，；当时，．

因此，函数在上单调递增，在上单调递减．

故函数的最大值为，由题意得需.

令，函数在上单调递减，

又，由，得，，

因此，实数的取值范围是；