Question

已知椭圆（a＞b＞0）过点M（0，2），离心率e=．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过定点N（2，0）的直线l与椭圆相交于A、B两点，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l斜率的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由题意得，由此能求出椭圆的方程．
（Ⅱ） 设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则．设直线l的方程为y=k（x-2），由，得x²+3k²（x-2）²=12．由此能够求出直线l斜率的取值范围．
解答：解：（Ⅰ）∵椭圆（a＞b＞0）过点M（0，2），离心率e=，
∴
结合a²=b²+c²，解得a²=12．
所以，椭圆的方程为．
（Ⅱ） 设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则．
设直线l的方程为：y=k（x-2），
由，得x²+3k²（x-2）²=12，
即（1+3k²）x²-12k²x+12k²-12=0．
所以，

=
==，
解得．
故直线L斜率的取值范围{k|}．
点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线的斜率的取值范围的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．