题目内容

（2013•延庆县一模）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为
12
．过F1的直线交椭圆C于A，B两点，且△ABF2的周长为8．过定点M（0，3）的直线l1与椭圆C交于G，H两点（点G在点M，H之间）．
（Ⅰ） 求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l1的斜率k＞0，在x轴上是否存在点P（m，0），使得以PG、PH为邻边的平行四边形为菱形．如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，请说明理由．
分析：（I）利用椭圆的离心率计算公式e=
c
a
及其定义即可得到a，b，c，进而即可得到椭圆的标准方程；
（II）设直线l1的方程为y=kx+3（k＞0），与椭圆的方程联立，由直线与椭圆由两个不同的交点?△＞0，可得k的取值范围，及其根与系数的关系；
“在x轴上是否存在点P（m，0），使得以PG、PH为邻边的平行四边形为菱形．”等价于“在x轴上是否存在点P（m，0），使得PN⊥l1”．即可得到用k表示m，利用导数即可得出取值范围．
解答：解：（Ⅰ）设椭圆的方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，离心率e=
c
a
=
1
2
，
△ABF2的周长为|AF1|+|AF2|+|AF1|+|AF2|=4a=8，
解得a=2，c=1，则b2=a2-c2=3，
所以椭圆的方程为
x2
4
+
y2
3
=1．
（Ⅱ）直线l1的方程为y=kx+3（k＞0），
由
x2
4
+
y2
3
=1
y=kx+3
，消去y并整理得（3+4k2）x2+24kx+24=0（*），
△=（24k）2-4×24×（3+4k2）＞0，解得k＞
6
2
，
设椭圆的弦GH的中点为N（x0，y0），
则“在x轴上是否存在点P（m，0），使得以PG、PH为邻边的平行四边形为菱形．”等价于“在x轴上是否存在点P（m，0），使得PN⊥l1”．
设G（x1，y1），H（x2，y2），由韦达定理得，x1+x2=-
24k
3+4k2
，
所以x0=
x1+x2
2
=-
12k
3+4k2
，∴y0=kx0+3═
9
3+4k2
，
∴N(-
12k
3+4k2
，
9
3+4k2
)，kPN=-
9
12k+m(3+4k2)
，
所以，-
9
12k+m(3+4k2)
•k=-1，解得m=-
3k
3+4k2
(k＞
6
2
)．
m′(k)=
3(2k-
3
)(2k+
3
)
(3+4k2)2
＞
3(
6
-
3
)(2k+
3
)
(3+4k2)2
＞0，
所以，函数m=-
3k
3+4k2
(k＞
6
2
)在定义域(
6
2
，+∞)单调递增，m(
6
2
)=-
6
6
，
所以满足条件的点P（m，0）存在，m的取值范围为(-
6
6
，+∞)．
点评：本题综合考查了椭圆的定义、标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、利用导数研究函数的单调性等基础知识与解题模式，需要较强的推理能力和计算能力．
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PM2.5
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