Question

12．如图，过点B（0，-b）作椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的弦，求这些弦中的最大弦长．

Answer 1

分析 设M（x，y）是椭圆上任一点，|BM|²=x²+（y+b）²=x²+y²+2by+b²，由x²=$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$（b²-y²），整理得|BM|²=（1-$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$）y²+2by+（a²+b²）=（1-$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$）•（y-$\frac{{b}^{3}}{{c}^{2}}$）²+$\frac{{a}^{4}}{{c}^{2}}$，分类当b≤c，即b≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$a时，$\frac{{b}^{3}}{{c}^{2}}$≤b，y=$\frac{{b}^{3}}{{c}^{2}}$时，|BM|的最大值为$\frac{{a}^{2}}{c}$，同理可知：当b＞c，即y=b时，点M在（0，b），即y轴上之顶点位置，|BM|的最大值为2b．

解答 解：设M（x，y）是椭圆上任一点，
|BM|²=x²+（y+b）²=x²+y²+2by+b²，
由$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
则x²=$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$（b²-y²），将其代入上式，整理得：|BM|²=（1-$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$）y²+2by+（a²+b²）
=（1-$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$）•（y-$\frac{{b}^{3}}{{c}^{2}}$）²+$\frac{{a}^{4}}{{c}^{2}}$．
∵-b≤y≤b，
（1）当b≤c，即b≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$a时，$\frac{{b}^{3}}{{c}^{2}}$≤b，
∴y=$\frac{{b}^{3}}{{c}^{2}}$时，|BM|的最大值为$\frac{{a}^{2}}{c}$，
（2）当b＞c，即b＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$a时，$\frac{{b}^{3}}{{c}^{2}}$＞b，
故y=b时，点M在（0，b），
即y轴上之顶点位置，|BM|²的最大值为（1-$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$）（b-$\frac{{b}^{3}}{{c}^{2}}$）²+$\frac{{a}^{4}}{{c}^{2}}$=4b²，
∴|BM|的最大值为2b．

点评 本题考查椭圆的标准方程及性质，考查椭圆弦长公式的最值，考查二次函数的最值，考查计算能力，属于中档题．