Question

已知直线l过点P（3，2），且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，
（1）求△ABO的面积的最小值及其这时的直线l的方程；
（2）求直线l在两坐标轴上截距之和的最小值．

Answer 1

分析：（1）设出截距式方程，写出面积的表达式，再由不等式得最值．
（2）设出直线方程的截距式，把经过的点P（3，2）的坐标代入得a与b的等式关系，把截距的和a+b变形后使用基本不等式求出它的最小值．

解答：解：（1）设A（a，0），B（0，b）（a＞3，b＞2），
则直线l的方程为：

x

a

+

y

b

=1（1分）
∵直线l过点P（3，2），∴

3

a

+

2

b

=1，
∴b=

2a

a-3

，S△=

1

2

ab=

1

2

a•

2a

a-3

=

a2

a-3

（1分）
=(a-3)+

9

a-3

+6≥2

(a-3)• 9 a-3

+6=12（1分）
当且仅当

a＞3 a-3= 9 a-3

，即a=6时，（S_△）_min=12（1分）
直线l的方程为：

x

6

+

y

4

=1，即2x+3y-12=0（1分）
（2）∵

3

a

+

2

b

=1 (a＞3，b＞2)
∴a+b=(a+b)•1=(a+b)•(

3

a

+

2

b

)（1分）
=3+

2a

b

+

3b

a

+2≥5+2

2a b • 3b a

=5+2

6

（2分）
当且仅当

3 a + 2 b =1 2a b = 3b a a＞3，b＞2

，即

a=3+ 6 b=2+ 6

时，（1分）
(a+b)min=5+2

6

（1分）

点评：本题考查直线的一般式方程、直线方程的截距式，利用基本不等式求面积的最小值或截距和的最小值，注意等号成立的条件需检验．