Question

已知直线l过点P（3，4）
（1）它在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍，求直线l的方程．
（2）若直线l与x轴，y轴的正半轴分别交于点A，B，求△AOB的面积的最小值．

Answer 1

分析：（1）当直线l过原点时，符合题意，求出斜率k即可得出；当直线l不过原点时，由于它在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍，可设直线l的方程为：

x

a

+

y

2a

=1．把点P的坐标代入即可．
（2）设直线l的方程为

x

a

+

y

b

=1（a＞0，b＞0），由直线l过点P（3，4）可得得：

3

a

+

4

b

=1．利用基本不等式即可得出ab的最小值，进而得到三角形AOB的面积的最小值．

解答：解：（1）①当直线l过原点时，符合题意，斜率k=

4

3

，直线方程为y=

4

3

x，即4x-3y=0；
②当直线l不过原点时，∵它在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍，
∴可设直线l的方程为：

x

a

+

y

2a

=1．
∵直线l过点P（3，4），∴

3

a

+

4

2a

=1，解得a=5．
∴直线l的方程为：

x

5

+

y

10

=1，即2x+y-10=0．
综上所述，所求直线l方程为4x-3y=0或2x+y-10=0．
（2）设直线l的方程为

x

a

+

y

b

=1（a＞0，b＞0），
由直线l过点P（3，4）得：

3

a

+

4

b

=1．
∴1≥2

3 a × 4 b

，化为ab≥48，当且仅当a=6，b=8时取等号．
∴△AOB的面积=

1

2

ab≥

1

2

×48=24，其最小值为24．

点评：本题考查了直线截距式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质、分类讨论等基础知识与基本技能方法，属于基础题．