Question

已知，，数列满足，
，．
（I）求证：数列是等比数列；
（II）若对任意恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

（I）证明见答案（II）

（I）∵，，，
∴．
即．
又若a_n≠1，则a_n+1≠1，事实上当a_n≠1时，由知，若a_n+1=1，则a_n=1，从而与a_n≠1矛盾，故a_n+1≠1．
由此及≠1可知a_n≠1对任意n∈N都成立．
故对任何，，
所以．
∵，
∴是以为首项，为公比的等比数列.
（II）由，得 
依题意（*）式对任意恒成立，
①当t=0时，（*）式显然不成立，因此t=0不符合题意．
　　　　　②当t<0时，由，可知（）．
　而当m是偶数时，因此t<0不符合题意．
　　　　　③当t>0时，由（）,
∴ ，∴．（）
　　　　　　设 （），
　　　　　　∵ =,
　　　　　　∴．
　　　　　　∴的最大值为．
　　　　　　所以实数的取值范围是．