Question

一个斜三棱柱的底面是边长为4的正三角形，侧棱长5，若其中一条侧棱与底面三角形的相邻两边都成60°角，则这个三棱柱的体积是（　　）

• A．

  50 3

  3

• B．20

  3

• C．

  50 2

  3

• D．20

  2

Answer 1

分析：过A₁作A₁D⊥平面ABC，由∠A₁AC=∠A₁AB=60°，知AO是∠BAC的平分线，由△ABC是等边三角形，知AO⊥BC，所以平面BB₁C₁C是矩形，过O作OE⊥AB，连接A₁E，由三垂线定理知A₁E⊥AB，由此能求出这个三棱柱的体积．

解答：解：过A₁作A₁D⊥平面ABC，
∵∠A₁AC=∠A₁AB=60°，
∴AO是∠BAC的平分线，
∵△ABC是等边三角形，∴AO⊥BC，
∴AA₁⊥BC，∴BC⊥BB₁，
∴平面BB₁C₁C是矩形，
过O作OE⊥AB，连接A₁E，由三垂线定理知A₁E⊥AB，
在△A₁AE中，A₁E=AA₁sin60°=5×

3

2

，AE=5×

1

2

=

5

2

，
在Rt△OAE中，∠OAE=30°，∴OE=AE×tan30°=

5

2

×

3

3

=

5

6

3

，
∴h=OA′=

A1E2-OE2

=

5 6

3

，
∴V=S_△ABC×h=

1

2

×4×4×

3

2

×

5 6

3

=20

2

．
故选D．
．

点评：本题考查斜三棱柱的体积计算，解本题的关键是合理运用三垂线定哩．