Question

一个斜三棱柱的底面是边长为4的正三角形，侧棱长5，若其中一条侧棱与底面三角形的相邻两边都成45°角，则这个三棱柱的侧面积是（ ）
A．60
B．30
C．10
D．20

Answer 1

【答案】分析：过A₁作A₁D⊥平面ABC，由∠A₁AC=∠A₁AB=45°，知AO是∠BAC的平分线，由△ABC是等边三角形，知AO⊥BC，所以平面BB₁C₁C是矩形，过O作OE⊥AB，连接A₁E，由三垂线定理知A₁E⊥AB，由此能求出这个三棱柱的侧面积．
解答：解：过A₁作A₁D⊥平面ABC，
∵∠A₁AC=∠A₁AB=45°，
∴AO是∠BAC的平分线，
∵△ABC是等边三角形，∴AO⊥BC，
∴AA₁⊥BC，∴BC⊥BB₁，
∴平面BB₁C₁C是矩形，
过O作OE⊥AB，连接A₁E，由三垂线定理知A₁E⊥AB，
在△A₁AE中，A₁E=AA₁sin45°=5×，
∴S_侧=2×+=2×+BC×BB₁
=
=20+10．
故选C．
点评：本题考查三棱柱的侧面积的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意三垂线定理的合理运用．