Question

10．如图，在平面内将四块直角三角板接在一起，已知∠ABC=45°，∠BCD=60°，记$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{b}$．
（Ⅰ）试用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$表示向量$\overrightarrow{AD}$$、\overrightarrow{CD}$；
（Ⅱ）若|$\overrightarrow{b}$|=1，求$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{CD}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用向量的三角形法则、共线定理即可得出；
（Ⅱ）利用数量积的定义及其运算性质即可得出．

解答 解：（Ⅰ）$\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$，
由题意可知，AC∥BD，BD=$\sqrt{3}$BC=$\sqrt{3}AC$．
∴$\overrightarrow{BD}=\sqrt{3}\overrightarrow{b}$，则 $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{a}+\sqrt{3}\overrightarrow{b}$，
$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{a}+（\sqrt{3}-1）\overrightarrow{b}$；
（Ⅱ）∵|$\overrightarrow{b}$|=1，∴$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{2}$，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=\sqrt{2}cos45°=1$，
则$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{a}•[\overrightarrow{a}+（\sqrt{3}-1）\overrightarrow{b}]$=${\overrightarrow{a}}^{2}+（\sqrt{3}-1）\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=2+\sqrt{3}-1=\sqrt{3}+1$．

点评 本题考查了向量共线定理、数量积运算及其性质，属于中档题．