Question

已知f（x）=loga

1+x

1-x

，（a＞0，且a≠1）．
（1）求f（x）的定义域．   
（2）证明f（x）为奇函数．
（3）求使f（x）＞0成立的x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）f（x）=loga

1+x

1-x

，（a＞0，且a≠1）的定义域为：{x|

1+x

1-x

＞0}，由此能求出结果．
（2）由f（x）=loga

1+x

1-x

，（a＞0，且a≠1），知f（-x）=loga

1-x

1+x

=-loga

1+x

1-x

=-f（x），由此能证明f（x）为奇函数．
（3）由f（x）＞0，得loga

1+x

1-x

＞loga1，对a分类讨论可得关于x的方程，由此能求出使f（x）＞0成立的x的取值范围．

解答：解：（1）f（x）=loga

1+x

1-x

，（a＞0，且a≠1）的定义域为：{x|

1+x

1-x

＞0}，
解得f（x）=loga

1+x

1-x

，（a＞0，且a≠1）的定义域为{x|-1＜x＜1}．
（2）∵f（x）=loga

1+x

1-x

，（a＞0，且a≠1），
∴f（-x）=loga

1-x

1+x

=-loga

1+x

1-x

=-f（x），
∴f（x）为奇函数．
（3）∵f（x）=loga

1+x

1-x

，（a＞0，且a≠1），
∴由f（x）＞0，得loga

1+x

1-x

＞loga1，
当0＜a＜1时，有0＜

1+x

1-x

＜1，解得-1＜x＜0；
当a＞1时，有

1+x

1-x

＞1，解得0＜x＜1；
∴当a＞1时，使f（x）＞0成立的x的取值范围是（0，1），
当0＜a＜1时，使f（x）＞0成立的x的取值范围是（-1，0）．

点评：本题考查f（x）的定义域的求法，证明f（x）为奇函数，求使f（x）＞0成立的x的取值范围，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．