Question

【题目】设△AnBnCn的三边长分别为an ， bn ， cn ， △AnBnCn的面积为Sn ， n=1，2，3…若b1＞c1 ， b1+c1=2a1 ， an+1=an ， ， ，则（ ）
A.{Sn}为递减数列
B.{Sn}为递增数列
C.{S2n﹣1}为递增数列，{S2n}为递减数列
D.{S2n﹣1}为递减数列，{S2n}为递增数列

Answer 1

【答案】B
【解析】解：b1=2a1﹣c1且b1＞c1 ， ∴2a1﹣c1＞c1 ， ∴a1＞c1 ， ∴b1﹣a1=2a1﹣c1﹣a1=a1﹣c1＞0，∴b1＞a1＞c1 ，
又b1﹣c1＜a1 ， ∴2a1﹣c1﹣c1＜a1 ， ∴2c1＞a1 ， ∴ ，
由题意， +an ， ∴bn+1+cn+1﹣2an= （bn+cn﹣2an），
∴bn+cn﹣2an=0，∴bn+cn=2an=2a1 ， ∴bn+cn=2a1 ，
又由题意，bn+1﹣cn+1= ，∴ ，
∴bn+1﹣a1= ，∴bn﹣a1= ，
∴ ，cn=2a1﹣bn= ，
∴ [ ][ ]
= [ ﹣ ]单调递增（可证当n=1时 ＞0）
故选B．
由an+1=an可知△AnBnCn的边BnCn为定值a1 ， 由bn+1+cn+1﹣2a1= 及b1+c1=2a1得bn+cn=2a1 ， 则在△AnBnCn中边长BnCn=a1为定值，另两边AnCn、AnBn的长度之和bn+cn=2a1为定值，
由此可知顶点An在以Bn、Cn为焦点的椭圆上，根据bn+1﹣cn+1= ，得bn﹣cn= ，可知n→+∞时bn→cn ， 据此可判断△AnBnCn的边BnCn的高hn随着n的增大而增大，再由三角形面积公式可得到答案．