Question

【题目】已知函数 ．
（1）若y=f（x）在（0，+∞）恒单调递减，求a的取值范围；
（2）若函数y=f（x）有两个极值点x1 ， x2（x1＜x2），求a的取值范围并证明x1+x2＞2．

Answer 1

【答案】
（1）解：因为f'（x）=lnx﹣ax+1（x＞0），

所以由f'（x）≤0在（0，+∞）上恒成立得 ，

令 ，易知g（x）在（0，1）单调递增（1，+∞）单调递减，

所以a≥g（1）=1，

即得：a≥1

（2）解：函数y=f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），

即y=f'（x）有两个不同的零点，且均为正，f'（x）=lnx﹣ax+1（x＞0），

令F（x）=f'（x）=lnx﹣ax+1，由 可知

1）a≤0时，函数y=f（x）在（0，+∞）上是增函数，不可能有两个零点．

2）a＞0时，y=F（x）在 是增函数在 是减函数，

此时 为函数的极大值，也是最大值．

当 时，最多有一个零点，所以 才可能有两个零点，

得：0＜a＜1

此时又因为 ， ， ，

令 ，φ（a）在（0，1）上单调递增，

所以φ（a）＜φ（1）=3﹣e2，即

综上，所以a的取值范围是（0，1）

下面证明x1+x2＞2

由于y=F（x）在 是增函数在 是减函数， ，可构造出

构造函数

则 ，故m（x）在区间 上单调减．又由于 ，

则 ，即有m（x1）＞0在 上恒成立，即有 成立．

由于 ， ，y=F（x）在 是减函数，所以

所以 成立

【解析】（1）求出函数的导数，问题转化为 ，令 ，根据函数的单调性求出g（x）的最大值，从而求出a的范围即可；（2）求出函数f（x）的导数，令F（x）=f'（x）=lnx﹣ax+1，求出函数F（x）的导数，通过讨论a的范围求出a的范围，证明即可．
【考点精析】通过灵活运用利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值即可以解答此题．