Question

15．如图所示，已知直线l⊥平面α，垂足O，在△ABC中，BC=1，AC=2，AB=$\sqrt{5}$，若该三角形ABC在空间做符合以下条件的自由运动：①A∈l，②C∈α，则B，O两点间距离最大值是（　　）

• A． 2+$\sqrt{3}$
• B． 1+$\sqrt{2}$
• C． 2-$\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{2}$-1

Answer 1

分析 先将原问题转化为平面内的最大距离问题解决，以O为原点，OA为y轴，OC为x轴建立直角坐标系，B、O两点间的距离表示处理，结合三角函数的性质求出其最大值即可．

解答 解：将原问题转化为平面内的最大距离问题解决，
以O为原点，OA为y轴，OC为x轴建立直角坐标系，如图．
设∠ACO=θ，B（x，y），则有：x=ACcosθ+BCsinθ=2cosθ+
sinθ，y=BCcosθ=cosθ．
∴x²+y²=4cos²θ+4sinθcosθ+1=2cos2θ+2sin2θ+3
=2$\sqrt{2}$sin（2θ+$\frac{π}{4}$）+3，
当sin（2θ+$\frac{π}{4}$）=1时，x²+y²最大，为2$\sqrt{2}$+3，
则B、O两点间的最大距离为1+$\sqrt{2}$．
故选：B．

点评 本题考查了点、线、面间的距离计算，解答关键是将空间几何问题转化为平面几何问题解决，利用三角函数的知识求最大值．