Question

6．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x²-3x．若方程f（x）+x-t=0恰有两个相异实根，则实数t的所有可能值为{-1，1}．

Answer 1

分析 求出f（x）的解析式，分离参数可得t=f（x）+x，作出g（x）=f（x）+x的函数图象，根据图象可得t=±1．

解答 解：当x＜0时，f（x）=-f（-x）=-（x²+3x）=-x²-3x，
由f（x）+x-t=0得t=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x，x≥0}\\{-{x}^{2}-2x，x＜0}\end{array}\right.$，
令g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x，x≥0}\\{-{x}^{2}-2x，x＜0}\end{array}\right.$，作出g（x）的函数图象如图所示：

∵方程f（x）+x-t=0恰有两个相异实根，即g（x）=t有两个实根，
∴t=1或t=-1．
故答案为：{-1，1}．

点评 本题考查了方程根与函数图象的关系，属于基础题．